勋章概率触发分布的说明

AncL · 发表于 2023-4-13 01:36:51

这个是之前的分析，非常浅显但是可以理解成入门级分析：https://www.gamemale.com/thread-109687-1-1.html

单看期望收益获得的信息可能并不完全，比如咱们两个人期望收益都是1金币，第一枚徽章是100%+1金币，而第二枚徽章是1%+100金币，仅仅从收益的角度，你应该选择哪枚徽章呢？如果这个问题你不确定，我换一个方案，即方案三，为你提供两枚50%+1的徽章（假设不考虑勋章数量上限），你会选择这个吗

不要被期望骗了

我们主要针对上面三种方案背后的逻辑讨论，从两种不同路线进行分析：

第一部分：单个勋章的分析

· 前提说明：

1. 关注单个勋章触发后获得的金币数是一个无意义的数据，相对金币数而言，我们更关心触发概率，概率才是影响分布的首要条件，但是我们又不得不略微关注下数据，毕竟我们假设了一个极强的前提：期望不变。但是为了方便说明，我也会列举一些数值。

2.

我们会分别从试验次数高和低，勋章触发概率高和低角度分别说明。

3. 分布计算器网址：https://www.osgeo.cn/app/s0059，除非必要的说明，本文中为了方便编辑，不提供过多图片。

我们手里有好多好多，好漂亮的勋章~这些勋章的期望收益都是一样的诶，你要如何选择呢

100%+3金币|75%+4金币|25%+12金币|1%+300金币|...

还有很多很多其他的，这些勋章的主要特征是期望收益相同

下图展示了在不同的试验次数下，你的真实收益小于等于期望收益的概率

可以看出，当试验次数较小且触发概率小于0.5时，分布是一个非常明显的右偏分布，用0.01这个概率说明，如果这枚徽章的触发概率是0.01，回100帖触发0次或者1次的概率约为73.6%，特别地，不触发（即亏本）的概率有36.6%，触发2次及以上（即血赚）的概率为26.4%；如果这枚徽章的触发概率是0.95，回100帖触发95次及以下的概率为56.4%，特别地，触发94次及以下（即亏本）的概率是38.4%，触发96次及以上（即血赚）的概率是43.6%。

【第一部分结论】

随着勋章触发概率的上升，当勋章触发概率小于0.5时，则为右偏分布，低于期望的结果将占比更大；当勋章触发概率大于0.5时，则为左偏分布，超过期望的结果将占比更大。这个数据会随着试验次数的上升而发生显著变化，在回10000帖的条件下，无论勋章触发概率是多少，都可以认为是正态分布。从二次分布，到泊松分布，再到正态分布的转变，本质上可以理解为偏度的逐渐降低，分布形状逐渐趋于正态，低于期望和高于期望的结果占比分别趋近于50%。

以上是关于单个勋章触发情况的分析。

第二部分：勋章拆分，一个勋章和两个勋章的差别，从而和无限的勋章的差别

现在摆在你面前的徽章，它...突然裂开了！并且竟然无休无止地分裂！！！

我们是否应该支持分割呢，如果分割，应该以何种方式分割为好呢？

按照可加性理解勋章分割：。独立同分布的随机变量具有可加性，二次分布、泊松分布、正态分布均具有可加性，可加性给我们提供了这样的结论：在试验次数足够的情况下，平均拆分对期望以及分布是没有影响的。

接下来着重讨论第一种情况：概率保持不变的情况下，平均拆分单个期望。这是一种比较简单的方式。

1枚100%+36金|2枚100%+18金|3枚100%+12金

或者1枚75%+36金|2枚75%+18金|3枚75%+12金...以及其他概率的拆分等等

（请注意，拆分不一定是平均，比如1枚75%+36金的，分裂成1枚75%+10金和1枚75%+26金，不平均的拆分我们暂时不做讨论）

我将在这里设置一个猎人陷阱，来猎捕出现的水怪，并对认真阅读的坛友表示感谢。如果您认真读了这个帖子的话，请在回复中至少包含两个数字。这个数字可以是文字，比如“楼主分析的乱七八糟”中的“七八”，也可以是数字，比如“我可能是那0.1%触发不了徽章的人”中的“0和1”。我会给前十个正确回帖的玩家1追随，如果是后来编辑的则自动失效。同时，我会在文末重新提及陷阱，请您在回复中尽可能不要表现出您看到了这段话。

我们先以两枚徽章进行分析，1枚勋章，75%+2金，分裂为2枚勋章，每枚勋章的效果是75%+1金。改变数值在图像上的影响主要是拉长，因此第一种情况下，相当于把100次75%概率的模拟结果拉长2倍，而第二种情况则类似进行200次模拟75%的结果。拉长并不会改变超过期望人数占总人群比的比例，增加次数会降低偏度导致分布更倾向于正态分布，从而改变超过期望人数占总人群比的比例。

在下面给出平均分成不同份数后真实收益小于期望收益的概率（p=100）。

【第二部分结论】-（1）

可以看出，只要勋章进行分割且概率低于50%时，那么你的真实收益小于期望收益的概率会随着勋章的分割而降低；如果勋章进行分割且概率高于50%时，那么你的真实收益大于期望收益的概率会随着勋章的分割而降低。说人话就是，高概率勋章不要切割，小概率勋章应切尽切。

还有两种比较复杂的情况，分别是：

1.概率不变，但是分割并不平均

2.期望不变，分割概率（比如将一个50%+1的分割成5个10%+1的）

其中第一种情况可以通过离散型卷积公式进行推导，第二种情况可能比较复杂，涉及到加和之后的概率是否超过50%的问题，理论上通过卷积公式也可以算出来，~~但是我困了~~

目前没有完整地推导出这两个情况的影响，但是第一种情况，不平均分割的结论应该和平均分割的结论是相同的，不平均分割其实只需要通过卷积公式证明+3分割成+2和+1后，概率分布变化的情况即可

第二种情况对是否分割结论影响不大，比如10%拆成两个5%，根据计算可以得到小于等于期望的概率分别是和58.316%和58.306%，二者相差并不大，如果80%拆成两个40%，根据计算得到小于等于期望的概率分别是53.983%和53.066%，这二者都表示出分割有利于改善自身情况。因此我猜测一个比较大胆的结论，即由次数上升导致偏度降低的修正强度，要高于概率降低所导致偏度上升的强度，这个结论可能在一定范围内是成立的，这个范围可能很大，但是推导起来应该会比较漫长，以后有时间可能会补充研究

什么？你问我研究勋章拆分有什么用？你和大佬回帖期望都是3金，大佬是一个100%+3的徽章，你是一堆10%+5金什么的乱七八糟的徽章叠上去的，这就是研究勋章拆分的意义。

and 这种研究就像是一个陷阱，如果你非常仔细地研究，会发现其中会有很多意想不到，或者说是不该出现的东西。我们往往设置至多两个变量就可以把这个问题研究得比较透彻，但是有的时候情况可能会过于复杂，以至于懒得仔细研究或者直接略过，这当然是无可厚非的，不过迎接真理的机会是有限的，对吧

千城丶 · 发表于 2023-4-13 01:42:28

说个大不敬的话
表示现在买勋章都是看动画瑟不瑟惹
老咸鱼的我好像没有考虑那么多

凯诺斯 · 发表于 2023-4-13 01:46:02

总之就是勋章越多收益期望会越高

娱乐法师火布偶 · 发表于 2023-4-13 01:46:30

楼主的概率论一定学的很好，我已经晕倒了
至少懂了一个小道理，想要赚的概率大于亏的概率，就去买触发概率大于50%的勋章

毛茸茸兽兽 · 发表于 2023-4-13 01:49:26

真.数据大佬啊～
咱买勋章都是有啥买啥的(´×ω×`)要不就是挑喜欢的，不太在意概率啦～

PUCK · 发表于 2023-4-13 01:52:39

第二部分开始就已经看不懂了

Tatta · 发表于 2023-4-13 01:54:07

不过论坛的触发概率一般都是0.1 0.08 0.04啥的吧，真有超过0.2 0.3的会有人错过吗

svfen · 发表于 2023-4-13 01:54:14

我觉得不管是五十还是百分之一的概率，都只是勋章的一种玩法，触发了爽就完啦~
其次说一下另一个角度，单算期望的话，实际上是在大量数据堆积起来的一种算法，就像楼主说的，一个1%的勋章＋100和100%+1金币的期望是一样的，但是如果不是那种究极大水怪的话，是100%+1金币一定是大多数人的选择，尽管他们期望一样，但是概率的差距导致人们选择更稳妥的，当然不排除赌狗选择1%+100的，那勋章就玩的不是数值而是刺激性了，你可能期待他触发，但是不见得会有多高的期望。同样，一个75%触发概率的勋章，如果不触发，心里就会想这么高概率的勋章都不触发，我还真是倒霉。因此不同的心理预期会导致不同的看法。但是楼主的想法是没错的，勋章只计算期望确实是个坑，因为你不可能达到很高的回帖量去平均你的期望。