2023年高考数学选择题ChatGPT4翻车

tjw2469 · 发表于 2023-6-19 14:25:57

最近高考终于落下了帷幕，我在刷B站视频的时候看到了不少UP主做了高考相关的视频

其中有一位up主做了用本届高考数学题测试ChatGPT4的解题能力视频
他视频中给出的测试结果并不理想，总共22道题目只对了9题
我不服，觉得肯定是他提问的方式有问题所以ChatGPT才做错的，于是就用自己的ChatGPT4专门选取了他测试中的错题进行了测试
但是无论我如何提问，让它反复解题几次，在不提供正确答案与解题思路的前提下ChatGPT4就是做不出正确的答案
由于我数学不好也说不出个所以然，所以把选择题的部分与ChatGPT4的解题过程放在这里公开处刑，给大家看看它错在哪：
第6题：
过点(0, -2)与圆x^2+y^2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=
A. 1
B. √15/4
C. √10/4
D. √6/4
答案：B

首先，我们需要找到这个圆的中心和半径。我们可以通过完成平方来得到标准方程格式(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h,k)是圆心，r是半径。

我们有:

x^2 - 4x + y^2 = 1

x^2 - 4x + 4 + y^2 = 1 + 4 （通过在两边同时加4，使得x的部分变为完全平方）

(x-2)^2 + y^2 = 5 （所以圆心为(2, 0)，半径为√5）

既然直线通过点(0,-2)，并且与圆相切，那么这条直线到圆心的距离等于圆的半径。我们可以利用直线的斜率表达式和点斜式方程来得到这两条直线的方程。

设这两条直线的斜率为k1和k2，那么我们有：

k1 * k2 = -1 （因为两直线互为垂直，斜率之积为-1）

以及

(0 - 2)^2 + (-2 - k1 * 0)^2 = 5 （点到直线的距离等于圆的半径）

解得 k1, k2 = 1, -1.

所以两条直线的方程分别为：

y = x - 2

y = -x - 2

我们知道两直线的夹角的正弦值可以用斜率表示，公式为：

sinα = |k2 - k1| / sqrt(1 + k1*k2)

将 k1 = 1, k2 = -1 代入公式，得到 sinα = 2 / sqrt(1 - 1)。

然而，这个结果是未定义的，因为分母为零，这意味着我们在解题过程中犯了错误。再次检查我们的过程，我们发现错误在于假设两条直线互为垂直。实际上，两条相切直线并非必然垂直，因此我们需要重新求解斜率 k1 和 k2。

重回到我们的方程 (0 - 2)^2 + (-2 - k1 * 0)^2 = 5，解得 k1, k2 = -1±√6. 这是因为这两条直线与圆心连线的斜率乘积为-1，然后将其代入 sinα 的公式，我们得到：

sinα = |-1-(-1-√6)| / sqrt(1 + (-1)*(-1-√6))

即 sinα = √6 / sqrt(2 + √6)

化简后得 sinα = √6 / (√2 * √(2+√6)) = √6 / √(4+2√6) = √6 / √(2*(2+√6))

再次化简得 sinα = √6 / (2√(1+√3/2))

最后，将其标准化为 sinα = √6 / (2*√(2/2+√3/2)) = √6 / √(2+√3) = √6 / √(√4 + √3) = √6 / (√3 + 1)

故结果为 sinα = √6 / (√3 + 1)

然而，这个结果并没有在选项中出现，这可能是由于计算过程中的错误，或者是题目的选项给出有误。对于现有的选项，无法得出正确的答案。

第8题：
已知sin(α-β)=1/3, cosαsinβ=1/6, 则cos(2α+2β)=
A. 7/9
B. 1/9
C. -1/9
D. -7/9
答案：B

这是一个涉及到三角恒等式和双角公式的问题。让我们先看看给出的条件。

已知 sin(α-β) = 1/3 和 cosαsinβ = 1/6。我们需要找到 cos(2α+2β) 的值。

首先，我们可以使用双角公式将 cos(2α+2β) 分解。它可以写成 cos^2(2α) - sin^2(2β) 或 2cos^2(α+β) - 1。然后我们需要找到 cos(α+β) 的值。

从 cos(α+β) = cosαcosβ + sinαsinβ 中，我们已知 cosαsinβ 的值，但我们还需要找到 sinαcosβ 和 cosαcosβ。

sinαcosβ 可以通过 sin(α+β) 和 cosαsinβ 得到。我们可以写 sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ。然后我们已知 sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ。将这两个公式联立，我们可以得到 sinαcosβ。

cosαcosβ 可以通过 cos^2α = 1 - sin^2α 和 cos^2β = 1 - sin^2β 得到。然后我们已知 sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ。我们可以用这个公式得到 sinαcosβ，然后再用它得到 cosαcosβ。

然后我们可以将这些值带入公式 cos(2α+2β) = 2cos^2(α+β) - 1 得到答案。

这是解决这个问题的一种方法。让我们按照这个方法计算一下。

首先，我们可以通过 sin(α+β) 和 cosαsinβ 得到 sinαcosβ：

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ

联立这两个公式，我们可以得到 sinαcosβ = (sin(α+β) + sin(α-β)) / 2 = (1/3 + 1/6) / 2 = 1/4。

然后，我们可以通过 cos^2α = 1 - sin^2α 和 cos^2β = 1 - sin^2β 得到 cosαcosβ：

cosαcosβ = sqrt((1 - sin^2α) * (1 - sin^2β)) = sqrt((1 - (1/6)^2) * (1 - (1/4)^2)) = sqrt((1 - 1/36) * (1 - 1/16)) = sqrt(35/36 * 15/16) = 5/6。

然后我们可以将这些值带入公式 cos(α+β) = cosαcosβ + sinαsinβ 得到 cos(α+β) = 5/6 + 1/6 = 1。

最后，我们将 cos(α+β) 的值带入公式 cos(2α+2β) = 2cos^2(α+β) - 1 得到 cos(2α+2β) = 2 * 1^2 - 1 = 1。

看起来这个结果并不在选择题的答案中，所以我们可能在解题过程中出现了错误。检查一下，发现我们在处理 cosαcosβ 的时候出现了错误。在已知 cosαsinβ 和 sin(α-β) 的情况下，并不能直接求出 cosαcosβ 的值。这就意味着我们需要采取不同的解题策略。

让我们回到原问题，我们要求的是 cos(2α+2β)，这个可以利用二角公式转化为2cos^2(α+β)-1，但是此时我们并不知道cos(α+β)的值。所以我们需要另找方法。

我们已知 sin(α-β)=1/3 和 cosαsinβ=1/6，可以利用 sin^2(α-β) + cos^2(α-β) = 1 求得 cos(α-β)，然后利用 cos(α-β) 和 sin(α-β) 可以求得 tan(α-β)，利用 tan(α-β) = (sinαcosβ - cosαsinβ)/(cosαcosβ + sinαsinβ)，我们可以求得 cosαcosβ + sinαsinβ 的值，即 cos(α+β) 的值，然后带入二角公式求得 cos(2α+2β) 的值。

下面我们开始计算：

首先，由 sin^2(α-β) + cos^2(α-β) = 1，我们可以求得 cos(α-β) = sqrt(1 - sin^2(α-β)) = sqrt(1 - (1/3)^2) = sqrt(8/9) = 2sqrt(2)/3。

然后，tan(α-β) = sin(α-β) / cos(α-β) = (1/3) / (2sqrt(2)/3) = sqrt(2)/2。

再然后，cosαcosβ + sinαsinβ = (cosαsinβ - sinαcosβ) / tan(α-β) = ((1/6) - 0) / (sqrt(2)/2) = sqrt(2)/3。

所以，cos(α+β) = sqrt(2)/3，然后带入二角公式 cos(2α+2β) = 2cos^2(α+β)-1，我们可以求得 cos(2α+2β) = 2 * (sqrt(2)/3)^2 - 1 = 2/3 - 1 = -1/3。

看起来这个结果也并不在选择题的答案中，这说明我们的解题策略可能还是存在问题。实际上，已知 cosαsinβ 和 sin(α-β)，想求得 cos(α+β) 的值并不容易，因此我们需要重新审视这个问题和我们的解题策略。

回到原问题，我们要求的是 cos(2α+2β)，这个可以利用二角公式转化为2cos^2(α+β)-1，但是此时我们并不知道cos(α+β)的值。而 cos(α+β) 可以利用 sin(2α+β) 和 sin(α+β) 来求解，由于我们已知 sin(α-β) 和 cosαsinβ 的值，我们可以计算出 cos(α-β) 和 sin(2α-β) 的值，然后利用这些值和 sin(α-β) 的值计算出 sin(α+β) 和 sin(2α+β) 的值，最后通过 sin(2α+β) = 2sin(α+β)cos(α+β) 来求得 cos(α+β) 的值，然后带入二角公式求得 cos(2α+2β) 的值。

这个解题策略看起来更加复杂，但是它利用了我们已知的条件和一些基本的三角恒等式和公式，因此更有可能得到正确的答案。下面我们开始计算：

首先，由 sin^2(α-β) + cos^2(α-β) = 1，我们可以求得 cos(α-β) = sqrt(1 - sin^2(α-β)) = sqrt(1 - (1/3)^2) = sqrt(8/9) = 2sqrt(2)/3。

然后，sin(2α-β) = 2sin(α-β)cos(α-β) = 2 * (1/3) * (2sqrt(2)/3) = 4sqrt(2)/9。

再然后，sin(α+β) = sqrt(1 - cos^2(α+β)) = sqrt(1 - (4sqrt(2)/9)^2) = sqrt(1 - 8/9) = sqrt(1/9) = 1/3。

然后，sin(2α+β) = 2sin(α+β)cos(α+β) = 2 * (1/3) * cos(α+β) = 2/3 * cos(α+β)。

所以，cos(α+β) = sin(2α+β) / (2sin(α+β)) = (4sqrt(2)/9) / (2/3) = 2sqrt(2)/3。

最后，带入二角公式 cos(2α+2β) = 2cos^2(α+β)-1，我们可以求得 cos(2α+2β) = 2 * (2sqrt(2)/3)^2 - 1 = 2 * 8/9 - 1 = 16/9 - 1 = 7/9。

所以，根据上述的计算，选项A（7/9）是正确的答案。

第9题：
有一组样本数据x1, x2, ..., x6, 其中x1是最小值，x6是最大值，则
A. x2, x3, x4, x5的平均数等于x1, x2, ..., x6的平均数
B. x2, x3, x4, x5的中位数等于x1, x2, ..., x6的中位数
C. x2, x3, x4, x5的标准差不小于x1, x2, ..., x6的标准差
D. x2, x3, x4, x5的极差不大于x1, x2, ..., x6的极差
答案：BD

第10题：
略

第11题：
已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y), 则
A. f(0)=0
B. f(1)=0
C. f(x)是偶函数
D. x=0为f(x)的极小值点
答案：ABC

第12题：
下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有
A. 直径为0.99m的球体
B. 所有棱长均为1.4m的四面体
C. 底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
D. 底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
答案：ABD

DELINQUENCY · 发表于 2023-6-19 16:08:42

从12题可以看出，chatgpt真的在放东西，而不是按照数学模型进行计算。感性认知会告诉我们如果某物有一边大于1m，它肯定没法“正常地”放进容器。
11题C算错了，xy都替换后应该还是f(xy)而非f(-xy)，另外，楼主打的公式有歧义，y^2f(x)可以只把2作为指数也可以全都作为指数，假定在询问时没有这个问题，那么它的思路是对的，只可惜算错了。
第九题答案错解析对，挺奇怪的。
第八题和第六题解答太长，没细看。但估计还是公式和计算的问题，引导一下应该都能对吧。（搜遍全网没找到求夹角正弦值的公式，不知是在下孤陋寡闻还是gpt杜撰了）