芝诺悖论：你追得上乌龟吗？
本帖最后由 万俟 于 2025-5-4 20:11 编辑前段时间经常看到有坛友在这里分享数学，好多人表示看不懂，其实数学也没那么高深，我也一直想科普一些有意思的数学。
今天一天都用来出期末考试卷子了，最后一个启发性的题目也是为后面微积分启蒙的一个题涉及到芝诺悖论。刚好可以作为一个小例子来给大家科普有限与无穷的思维。
芝诺悖论是古希腊哲学家埃利亚的芝诺提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论，是中小学科普读物里面的反面典型亚里士多德记录的。通俗来说就是文科生芝诺想用这个攻击数学和物理学是sb伪科学，不值一提。
这个悖论有很多种形式，我们来用最容易理解的形式，战神阿喀琉斯追乌龟。希腊神话里面第一勇士阿喀琉斯跑得很快，如果想追一个乌龟轻轻松松，数学应用题和物理运动题里面用速度差很轻松就能算出来。
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但是芝诺提出来一个问题，既然两者起点不同，不妨假设乌龟的起点位于阿喀琉斯身前1000米处，并且假定阿喀琉斯的速度是乌龟的10倍。比赛开始后，若阿喀琉斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿喀琉斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然领先他10米；当阿喀琉斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然领先他1米。换句话说，给乌龟所在地点插一个标志，当阿喀琉斯到达这一个标志的时候，乌龟一定又向前跑了一段，虽然这种优势会逐渐缩小，但是这个优势永远不会消失，因为无论任何一个时刻，只要锚定乌龟的位置，阿喀琉斯追上来，乌龟一定会向前跑一段。所以阿喀琉斯是永远不可能追上乌龟的。
对吧？对吗？
对也不对。在这个思维模式下，确实每一段时间内阿喀琉斯都追不上乌龟。但大家要注意，这里所谓的的每一段时间，累积起来并不能到永远。这个悖论的核心是用细分的无限，代替延展的无线。有点晕？没关系，那我换一种说法，无限循环或者无限不循环小数是无穷大吗？比如三分之一，写成小数是0.33333....这个数字有无限多位，我们可以认为这是0.3+0.03+0.003+....，这个求和里面有无限多个数字，就相当于在芝诺悖论里面，每一段阿喀琉斯追到上一个时刻乌龟所在位置的时间。确实是无穷多个时间段，但加起来却不是永远。
所以说，在无穷多个时间段内，阿喀琉斯追不上乌龟，对。阿喀琉斯永远追不上乌龟，不对。
之所以说这个悖论很合适为微积分启蒙，是因为这个已经触及到了微积分的最基本的概念，无穷小量的累积。或者再直白一些，大家真的知道数字是什么吗？0.3333...那个例子其实已经涉及到了一个数学非常本质的问题，什么是实数的连续性，换句话说，实数轴上的数字到底是怎么排列的，以及数轴上的数字是连续挨在一起的还是各自分离的？
阿喀琉斯严格来说不算希腊神话里面的战神，身份大概是半神 确实看不懂，感觉已经超出我的知识范围了 本帖最后由 PURO_ 于 2025-5-4 20:13 编辑
·对于这个悖论，学过高数里的极限之后应该都不会有什么疑问了吧
可以简化成一个收敛级数从1到n的求和（n趋近于∞）等于某个常数{:4_114:}
emmm 但是超过那个时间段战神不就追上乌龟了微积分果然还是要天分才能理解过来{:6_169:} 本帖最后由 koh 于 2025-5-4 20:20 编辑
对不起，要长脑子了！我的大脑自动过滤了知识:sleepy:
看懂了假设条件，确实追不上，因为乌龟一直在跑，而阿克琉斯只能跑乌龟跑过一样的距离
说实话，这种悖论你要浅显的去理解，其实很好理解，但是更深一点的话，那就一点都看不懂，感觉这种东西都牵扯了一定的哲理怎么回事 很有意思的悖论，追不上乌龟确实没有想到{:6_169:} 简单看一下就是高数的极限问题，只能无限趋近于某个值，用小故事来说明确实要有趣通俗多了;P 物理四神兽之一
还有 麦克斯韦妖 薛定谔的猫 拉普拉斯兽 额额额~好像有点懂惹又没看懂~是说纯高等数学这种东西在现在工作之后几乎没用上就是惹呢...{:4_92:} {:6_200:}举手，以前听说过这个悖论，我记得好像论破的重点在时间的不可分割性？如果时间一直继续的话，阿喀琉斯很快就追上乌龟了，但是在这里时间在快追上那一刻被切分到无穷小了 简单来说就是只能无限接近但是永远追不上 看着还是挺有意思的就是想着有些费脑 有点不明觉厉的感觉惹{:6_180:} 文科生表示看不懂，但感觉很厉害的样子(＞＜) 兔子都追不上乌龟，我也不行 原来是对也不对....不明觉厉但数学真奇妙啊.jpg 很有意思的思维启发题，正是在不断追问答案的过程中才能得到远比答案更珍贵的思想宝藏
从宏观来看是可以的，因为不管再怎么细分时间，阿喀琉斯跑过的距离都不会是无限，而是一定的，乌龟同理，在乌龟被追上之前的时间里，阿喀琉斯确实永远追不上乌龟 不对啊，阿喀琉斯的跑步速度不会变慢吧，所以说会很快的超过吧，不理解这个我是笨蛋 因为芝诺时间本身是由上限的，但阿克琉斯的实际时间是没有的