芝诺悖论：你追得上乌龟吗？

万俟 · 发表于 2025-5-4 19:58:40

本帖最后由万俟于 2025-5-4 20:11 编辑

前段时间经常看到有坛友在这里分享数学，好多人表示看不懂，其实数学也没那么高深，我也一直想科普一些有意思的数学。
今天一天都用来出期末考试卷子了，最后一个启发性的题目也是为后面微积分启蒙的一个题涉及到芝诺悖论。刚好可以作为一个小例子来给大家科普有限与无穷的思维。

芝诺悖论是古希腊哲学家埃利亚的芝诺提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论，是中小学科普读物里面的反面典型亚里士多德记录的。通俗来说就是文科生芝诺想用这个攻击数学和物理学是sb伪科学，不值一提。

这个悖论有很多种形式，我们来用最容易理解的形式，战神阿喀琉斯追乌龟。希腊神话里面第一勇士阿喀琉斯跑得很快，如果想追一个乌龟轻轻松松，数学应用题和物理运动题里面用速度差很轻松就能算出来。

但是芝诺提出来一个问题，既然两者起点不同，不妨假设乌龟的起点位于阿喀琉斯身前1000米处，并且假定阿喀琉斯的速度是乌龟的10倍。比赛开始后，若阿喀琉斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿喀琉斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然领先他10米；当阿喀琉斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然领先他1米。换句话说，给乌龟所在地点插一个标志，当阿喀琉斯到达这一个标志的时候，乌龟一定又向前跑了一段，虽然这种优势会逐渐缩小，但是这个优势永远不会消失，因为无论任何一个时刻，只要锚定乌龟的位置，阿喀琉斯追上来，乌龟一定会向前跑一段。所以阿喀琉斯是永远不可能追上乌龟的。

对吧？对吗？

之所以说这个悖论很合适为微积分启蒙，是因为这个已经触及到了微积分的最基本的概念，无穷小量的累积。或者再直白一些，大家真的知道数字是什么吗？0.3333...那个例子其实已经涉及到了一个数学非常本质的问题，什么是实数的连续性，换句话说，实数轴上的数字到底是怎么排列的，以及数轴上的数字是连续挨在一起的还是各自分离的？