大家一起帮猫猫抓老鼠

想了一个题，感觉对我的学生们太难了，来考考坛友吧： 地上有一排七个洞，有一只老鼠在其中一个洞里面，一只猫猫想抓老鼠。已知每个夜晚老鼠会移动到相邻的一个洞里，猫猫每天白天可以进一个洞去捉老鼠。请问猫猫有没有一种策略一定能捉到老鼠呢？如果有的话，请给出策略，如果没有请证明。

这个悬赏奖励会给第一个正确答案。如果有人能找到最优策略，并且证明最优性的话，会触发隐藏奖励（我会再发一个更高额的悬赏）

大家不用拿这个问题问ChatGPT，Deepseek或者Gemini了，我问了一下，AI给的答案都是错的，果然人工只能遇到数学就变人工智障。

根据楼下问题，这里澄清一下，猫猫可以重复进同一个洞，但是一天只能进一个。不妨假设老鼠全知全能，只受每天必须移动到相邻洞的限制，因为猫猫要找一个无论老鼠如何行动都能抓到的策略。猫猫需要找一个在有限天数必须抓到老鼠的策略，此处无概率论内容。

可解
22345665432，我的解目前11天
以下解答冒号前为检查位置，后为老鼠可能的位置
第一天2：134567
第二天2：34567
第三天3：24567
第四天4：13567
第五天5：2467
第六天6：1357
第七天6：24
第八天5：13
第九天4：2
第十天3：1
第十一天2：必中


（实际上第二天的2是没有意义的，可以直接删去，最少需要10天，具体图文解答和证明过程见第6楼和第8楼）

除非一发命中，不然没有，因为缺乏以下信息
1、洞是否可以重复进入或检查
2、老鼠知不知道猫检查了哪个洞
3、是否有天数限制

万老师好~看到你的问题就从班上往回拉赶啦
这个问题可以先简化成3个洞的情况，只要猫猫守在中间的洞，那么必定能抓到老鼠，因为老鼠必须移动到中间的洞。
4个洞的时候，猫猫可以守在第二的洞两次，以验证1，2号洞没有老鼠，但是3，4号位置如何处理呢？也是有办法的：
因为每一次的移动，老鼠都必须从奇数洞移动到偶数洞，或者从偶数洞移动到奇数洞，已经验证了1，2号位无老鼠的情况下，猫猫去守3号位，如果当天捉不到老鼠，那么老鼠一定正在偶数洞里，也就是2、4号洞，那么接下来就容易了，因为猫猫会直到老鼠每天会在奇数还是偶数的洞里面，也就可以将当前的问题一分为二了~
对于7个洞，可以用3洞的方法，猫猫蹲两天2号，排除1号洞的可能。此时老鼠有两种情况，在奇数洞3，5，7或者偶数洞2，4，6：
A.如果鼠鼠在奇数洞，那么吓一天鼠鼠前往偶数洞，可能是2，4，6，猫猫蹲4洞，可知当天老鼠要么在2，要么在4；蹲3，2，2，则那天待在2号位的鼠鼠必定鼠掉；没鼠鼠则说明猫猫蹲4的那天，鼠鼠在6，经过3天后，鼠鼠可能会在的洞是奇数3，5，7，而猫猫正在2号位置，问题似乎又回到了原点？当然不是啦~因为现在猫猫要再蹲一天2号，这样鼠鼠只可能在4或6号洞，猫猫去蹲4洞，然后就能判断出鼠鼠必定在6洞，接着问题就简化为3洞的情况啦
B.鼠鼠前往奇数洞，3，5，7，和上面方法差不多，我先发了再说~

解完啦，花了16步，稍微饶了点弯路w
万老师说的跳洞会失去方向的事情，我拿图画了一下，猫猫会跳去4洞，是因为此时分析的鼠鼠只可能在2，4，6洞，然后用这样的方法排除了2洞的鼠鼠，到了第十步，排除了6洞的鼠鼠，而猫猫正在6号洞，此时鼠鼠只可能在第2步时位于偶数洞，那么把序号倒过来就是另一种处理方法啦

感觉确实是一个很好的例子，但不是自己解题，而是尝试用AI来教会你如何解决这样的问题，也辛苦楼主看看我的答案对不对。

步骤：
1.我是用的Gemini 2.5pro，首先不要让AI直接告诉你答案！而是将情景抛给AI，让AI查询有没有符合这种场景的方法，这一步中Gemini推荐使用广度优先搜索算法（英语：Breadth-first search，缩写：BFS）.
2.让AI用python或你熟知的语言来给你写个用来模拟的代码，我放在附录，命名为The_Way_How_Cat_catch_Mouse.py
3.让AI重复上一步，写一个用来验证的代码看，附录命名为：Cat_catch_Mouse.py

如此，即可得到答案：[2, 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4, 5, 6]/10天.

当然不保证对不对哈（

如果老鼠在偶数洞（2, 4, 6），它必然会移动到隔壁的奇数洞（1, 3, 5, 7）。
如果老鼠在奇数洞（1, 3, 5, 7），它必然会移动到隔壁的偶数洞（2, 4, 6）。

先假设老鼠选择偶数。

第一天选择最边边的洞（洞2或洞6，这里选择洞2）。
假如老鼠在洞2，直接结束。
如果没有，代表老鼠在洞4或洞6，第二天老鼠会出现在洞3，洞5，洞7。（这里已经不可能是洞1，因为在洞2已经被抓住了。）

第二天选择洞3。
假如老鼠在洞3，直接结束。
如果没有，代表老鼠在洞5和洞7，那么第三天他会出现在洞4和洞6。（由于第一天排除了洞2，老鼠在第二天不可能出现在洞1，因此第三天也不可能在洞2。）

第三天选择洞4。
假如老鼠在洞4，直接结束。
如果没有，代表老鼠在洞6，那么第四天他会出现在洞5和洞7。（第三天的洞2被排除，那么第四天的洞1和洞3也被排除。）

第四天选择洞5。
假如老鼠在洞5，直接结束。
如果没有，代表老鼠在洞7，那么第五天他必然会出现在6的洞。（第四天的洞1和洞3被排除，那么洞2和洞4也被排除。）

因此能确保老鼠在偶数的话，第五天能找到。

假如一开始在奇数的话。

那么在第六天，老鼠可能在（奇→偶→奇→偶→奇→偶）洞2，洞4，洞6，同样选择最边边的洞6，
假如老鼠在6，直接结束。
如果没有，代表老鼠在洞2和洞4，那么第七天他会出现在洞1，洞3，洞5。（洞6排除，代表洞7也被排除，下面如此类推。）

第七天选择洞5。假如老鼠在洞5，直接结束。
如果没有，代表老鼠在洞1和洞3，那么第八天他会出现在洞2和洞4。

第八天选择洞4。假如老鼠在洞4，直接结束。
如果没有，代表老鼠在洞2，那么第九天他会出现在洞1和洞3。

第九天选择洞3。假如老鼠在洞3，直接结束。
如果没有，代表老鼠在洞1，那么第十天他必然会出现在洞2。

如果一开始猜测的偶数是错误，那么最短在第十天也能找到。

好像不对，改改再来

关于做法，我觉得6楼已经非常详细了，那我说说证明吧，关于策略最优性，一般都是用信息论来做的。
猫确认一次洞，要么有鼠要么没鼠，共2种可能性，则确认一次的信息量是-1/2*log（1/2）-1/2*log（1/2）=1。
先考虑老鼠只在偶数洞的特殊情形，则老鼠位置和行动的总信息量是log3（3个可能位置）+log3（第一晚可能的行动，虽然第一晚行动可能有4种，但有一种是自投罗网，不可能选，所以实际只有3种）+log2（第二晚）+log1（第三晚）=4.17＜5*1，故需要至少5次确认才能覆盖信息量。
当偶数情形被证伪，此时老鼠依然位于偶数位置，则再进行一次相同流程，同样需要5次，故总共需10次。
另外，就算老鼠是随机移动，由于自投罗网的选项会使得后续可能性灭失，故要使得信息最大化的话，算法依然与上述相同。

看了大家的看法还有superdick老师的图，
所以一开始从洞口2去找，是作最坏的打算老鼠就是在洞口1（用花费最多日数的顺序确保必定抓到老鼠），
然后前五天在洞2，3，4，5，6去找，特别是第六天重复在洞6。

假设第五天在洞6找不到，第六天同样在洞6也是找不到，那么就能确保确保老鼠不在洞7，
那么就可以往前面的洞口一路探索。

因为前六天的探索已经证实到老鼠不在洞7，所以如果一路向前推扫，
洞6找不到老鼠，代表老鼠在洞7和洞6都没有可能出现，
往前洞5找不到，代表老鼠在洞7、洞6、洞5都没有可能出现，

然后第七天一路向前推扫，洞5（第七天）、4（第八天）、3（第九天）、2（第十天），
因为假若老鼠是一开始第一天就在洞1，那么第二天就在洞的偶数，
可以得出日子是奇数/偶数的话，那么老鼠也会在奇数/偶数的洞。

因为在第九天（在洞3找）已经排除了洞4-7，老鼠可活动的洞区域只有洞1-2，
然后在第十天（在洞2找），老鼠就被找到了。

所以最多用10日就必定抓到老鼠！哇哦！理解之后就好像便秘也舒畅了～

反过来说偶数数量的洞是不是就没有必中解了没事了，洗澡的时候想了一下，以8洞为例，道理还是一样234567，没查出来说明一开始在奇数，现在在偶数，765432踩回去就行了

感觉这种问题在五花八门比较合适

感觉是不是把洞用二进制标识可能会方便一点，每次探洞实际上是缩减某一个数位的概率，当然只是个小想法